Đề tài: bài rất hay nhưng rất khó

cho a+b+c=2010
a;b;c thuộc Z
C/m: A^3+b^3+c^3 chia hết cho 6

ko ai giải dc ak`

câu hỏi hay cậu nhờ v?

lâu rồi mới làm mấy bài này mình làm kiểu trâu bò nhé, bạn nào có cách hay hơn thì post lên mình xem tham khảo
chả biết đúng không, những vẫn thử xem:

A=a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+(2010-a-b)^3

*[2010-(a+b)]^3=2010^3-3.(2010^2)(a+b)+3.2010(a+b)^2-[a^3+b^3+3(a^2)b+3a(b^2)]

=>A=2010^3-3.(2010^2)(a+b)+3.2010(a+b)^2-3ab(a+b)
=2010^3+3(a+b)[2010(a+b)-ab-2010^2]
=2010^3+B

*2010 vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 nên sẽ chia hết cho 6, bình phương lên cũng chia hết cho 6
vậy chỉ cần chứng minh B cũng chia hết cho 6 là xong
tới đây chia 2 trường hợp

*TH1: (a+b) là số chẵn=>3(a+b) chia hết cho 6=>B chia hết cho 6

*TH2: (a+b) là số lẻ=> trong 2 số a, b sẽ có 1 chẵn, 1 lẻ; và c là số lẻ [do c=2010-a-b]
Đặt C=2010(a+b)-ab-2010^2
ta chỉ cần chứng minh C chia hết cho 2 là xong, vì B=3(a+b).C trong đó 3(a+b) đã chia hết cho 3 rồi

C=2010(2010-c)+ab-2010^2=ab-2010c
ab là số chẵn [ trong 2 số a, b có 1 chẵn 1 lẻ], 2010c là số chẵn
=>C là số chẵn, nên chia hết cho 2
vậy là xong
vì gõ ở đây khá khó nhìn, nên bạn nên viết ra giấy, sẽ dễ nhận ra hơn ^^

Mình cũng xin đóng góp chút:
Nhận xét: Vì a+b+c=2010 (chẵn) nên tồn tại ít nhất 1 số trong a,b,c là số chẵn. Giả sử đó là a chẵn=> b+c là số chẵn
A=a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3a(ab+ac+b^2+c^2)-3bc(b+c)-6abc
(a+b+c)=2010 chia hết cho 6
3a(ab+ac+b^2+c^2) chia hết cho 6 (vì a chẵn)
3(b+c)bc chia hết cho 6 (vì b+c chẵn)
Từ đó ta có điều phải chứng minh.

có cách này nè ngắn lắm
ta có:
a^3+b^3+c^3-(a+b+c)
=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)
(a-1)a(a+1) chi hết cho 6
(b-1)b(b+1) chi hết cho 6
(c-1)c(c+1) chi hết cho 6
=> a^3+b^3+c^3-(a+b+c) chi hết cho 6
mà a+b+c=2010 chia hết cho 6
=>a^3+b^3+c^3 chia hết cho 6

cách nầy hay thật

chicharito_93

cách nầy hay thật

bà cô tui toàn ra đề "vãi" ko ak`

à, cách của thớt đơn giản nhỉ ^^
mấy vụ chia hết, bất đẳng thức là mình dở tệ, trước giờ có mấy khi làm đâu
nên làm cách trâu bò mới được @@
thớt học tốt nhá

Kevin_23

à, cách của thớt đơn giản nhỉ ^^
mấy vụ chia hết, bất đẳng thức là mình dở tệ, trước giờ có mấy khi làm đâu
nên làm cách trâu bò mới được @@
thớt học tốt nhá

@@ phải tui làm đâu. bà cô sửa mà